Модель межотраслевого баланса

Построим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим через количество единиц груза, направляемые от i-го поставщика к j-му потребителю. При этом целевая функция имеет следующий вид:

Шаг:1

Проверка на сбалансированность

Общее число запасов на складах : 350; Общая потребность : 350

Задача является сбалансированной (закрытой).

Шаг:2

Отыскание начального решения. Метод минимального элемента

Запишем настоящую задачу в виде транспортной таблицы. На пересечении j-го столбца и i-й строки будем записывать количество продукции, поставляемое с i-го склада j-му потребителю.

Получено допустимое начальное решение (опорный план), удовлетворены нужды всех потребителей и использованы все запасы производителей.

Шаг:3 Проверим полученный опорный план на невырожденность. Количество заполненных клеток N должно удовлетворять условию N=n+m-1 . В нашем случае N=7, n+m=4+4=8 , что удовлетворяет условию невырожденности плана.

Шаг:4

Вычислим общие затраты на перевозку всей продукции.

Перемножим значения загруженных клеток на соответствующие потенциалы, полученные произведения сложим. Получим значение суммарных затрат, для данного начального решения.нач= 2160

Шаг:5

Проведем поэтапное улучшение начального решения, используя метод потенциалов.

Итерация 1

Составим вспомогательную рабочую матрицу затрат. Она строится из исходной матрицы издержек путем переноса только тех ячеек Pij, которые соответствуют заполненным клеткам транспортной таблицы. Остальные ячейки остаются пустыми.

Кроме того, введем вспомогательный столбец в который внесем значения неизвестных U1 . U4 (4,это m - число складов) и вспомогательную строку в которую внесем значения неизвестных V1 . V5 (5,это n - число потребителей). Эти n+m неизвестных должны для всех (i,j), соответствующих загруженным клеткам, удовлетворять линейной системе уравнений

+Vj=Pij

На первом шаге полагают V4=0. Если на k-м шаге найдено значение неизвестной, то в системе всегда имеется еще не определенная неизвестная, которая однозначно может быть найдена на (k+1)-м шаге из уравнения Ui+Vj=Pij, так как значение другой неизвестной в этом уравнении уже известно. То какую неизвестную можно найти на (k+1)-м шаге, определяют методом проб. Переменные Ui и Vj называются симплекс-множителями или потенциалами.