Некоторые сведения из теории вероятности, использованные для решения задачи парковки

Так как для , то грубое приближение дает

,

следовательно по теореме 1 при условии следует

Теорема 3: существует постоянная такая, что математическое ожидание величины удовлетворяет соотношению

() (2.2.13) [6]

Используя формулу Стирлинга , получим

(2.2.14)

Определим и :

, где

Из условия , при получаем

, () (2.2.15),

учитывая, что - левая часть выражения (2.2.14), следовательно

(2.2.15),

таким образом, удовлетворяет (),

где оценено формулой (2.2.15).

Из этих условии следует

Теорема 4: существует постоянная такая, что дисперсия величины удовлетворяет соотношению [6].

Рассмотрим соотношение: (2.2.16).

Докажем, что случайная величина имеет асимптотически нормальное распределение с параметрами при .

Для доказательства воспользуемся двумя леммами.

Лемма 1: пусть неотрицательная функция, определенная при , ограниченная на конечных интервалах и удовлетворяющая соотношению , тогда при выполняется , где взят по всем наборам неотрицательных , при .

Лемма 2: рассмотрим такое, что для всех - независимых случайных величин, которые удовлетворяют

(2.2.17)

следует, что функция распределения приближается равномерно по к нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.