Модель Леонтьева. Статическая модель

Рассмотрим статическую линейную модель многоотраслевой экономики. В основе модели лежат следующие предположения:

) В системе экономики производятся, продаются, покупаются, потребляются и инвестируются n продуктов;

) Каждая отрасль является «чистой», т. е. производит только один продукт;

) Производственный процесс в отрасли - это преобразование некоторых типов продуктов в какой-то один продукт. Таким образом, если для производства единицы j-го продукта надо затратить aij единиц i-го продукта, то выпуск λ единиц j-го продукта потребует λ aij единиц i-го продукта.

Таким образом, независимо от масштаба производства удельный выпуск и соотношение затрат всегда постоянны.

Валовой выпуск i-го продукта за год распадется на две части: на производственное потребление и на конечное (не производственное) потребление.

Из предположений следует производственное потребление i-го продукта всеми отраслями равно Ʃ aij хj, поэтому чистый выпуск i-го продукта составит

(1.1)

Если прировнять чистый выпуск каждого i-го продукта конечный спрос на него yi, то образуется система уравнений:

(1.2)

Которая и составляет модель Леонтьева.

Конечный спрос yi состоит из конечного потребления, экспорта и инвестиций. Но в самой модели величины yi мыслятся как экзогенно заданные. Поэтому при заданных yi, i=1, … , n, n линейных уравнений модели Леонтьева позволяет определить n отраслевых выпусков xi, i=1, … , n.

Величины yi, xi могут быть представлены в натуральных или стоимостных единицах измерения, в соответствии с этим различают натуральный или стоимостный межотраслевые балансы.

Система (1.2) - это система n линейных уравнений с n неизвестными xi, i=1, … , n, которая является хорошо изученным объектом линейной алгебры. Однако система описывает отраслевую структуру экономики и поэтому обладает следующими свойствами: коэффициенты прямых затрат aij, объемы конечного спроса yi и валовые выпуски xi - неотрицательны.

Система (1.2) называется работоспособной или продуктивной, если разрешима в неотрицательных xi.

Двойственной к системе (1.2) называется следующая система линейных уравнений для цен продуктов pj.

(1.3)

Где - добавлена стоимость на единицу выпуска j-й отрасли.

Поскольку - сумма издержек на единицу выпуска j-й отрасли, то в левой части уравнений (1.2) - чистый доход от единичного выпуска j-й отрасли, который приравнивается к добавленной стоимости .

Система (1.3) - прибыльная, если она разрешима в неотрицательных , j = 1, … , n. Так же известно , что продуктивность (1.2) и прибыльность (1.2.2) эквивалентны: из продуктивности системы следует прибыльность и наоборот.

Система (1.3) может записана и в виде матрицы:

(I - A)x = y, (1.4)

Где I = In - единичная матрица с размерами

Из (1.2.3) следует, что продуктивность (1.2.1) эквивалентно неотрицательной обратимости матрицы (I - A) . если одно из условий выполняется, то

x = (I - A)-1y, (1.5)

причем .

Обозначим через N множество номеров отраслей N = {1, … , n}. Подмножество отраслей S изолировано, если aij = 0 для , т. е. отрасли не

(1.6)

Где А1 - квадратная матрица с размерами , отвечающая отраслям S; А3 - квадратная матрица с размерами , отвечает отраслям S.

Технологическая матрица называется неразложимой, если ее нельзя путем перестановок строк и столбцов привести к виду (1.6). Неразложимость А означает, что каждая отрасль косвенно использует продукцию всех отраслей.