Построение границы устойчивости АСР

При анализе устойчивости одноконтурной АСР, включающей объект и ПИ-регулятор, в первую очередь необходимо выяснить, в каких пределах можно варьировать параметры его настроек и для каждой с возможных частот получить расходящийся переходный процесс регулирования.

Иначе говоря, в плоскости параметров и (более удобно - и ) определяется область, в которой все комбинации настроек дают устойчивые затухающие переходные процессы.

Передаточная функция ПИ-регулятора:

Эквивалентная передаточная функция замкнутой АСР по каналу регулирования:

(10)

Характеристическое уравнение замкнутой АСР:

(11)

Если оценивать устойчивость замкнутой АСР с применением критерия Найквеста-Михайлова, то задачу снова необходимо перевести в частотную область. Тогда получим:

, (12)

где - действительная часть КЧХ ПИ-регулятора;

- мнимая часть КЧХ ПИ-регулятора.

Отсюда можно получить выражения для определения настроек, соответствующих границе устойчивости АСР:

(13)

Каждому значению круговой частоты w соответствует пара значений параметров настройки и . Для данной АСР граница области устойчивости должна располагаться в верхней полуплоскости параметров. При увеличении запаздывания площадь области устойчивости должна резко сокращаться.

Критерий Найквиста-Михайлова дает возможность определить устойчивость замкнутой системы по виду АФХ системы в разомкнутом состоянии. Различают формулировку критерия для тех случаев, когда система в разомкнутом состоянии устойчива и неустойчива.

Для первого случая критерий устойчивости формулируется таким образом: система автоматического управления, устойчива в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если АФХ разомкнутой системы не охватывает точку на комплексной плоскости с координатами (-1,j0).

Построим границу устойчивости АСР:

Рисунок 2 граница устойчивости АСР